Muy buenas Luis! Lo mismo ya lo tienes solucionado puesto que esta entrada es ya antigua pero por si acaso: prueba a cuando estableces las propiedades de la cuenta de correo importada a indicar que use como salida el de la propia web (POP), de esta forma GMail funciona totalmente como Outllook y nadie tiene porqué conocer tu cuenta gmail.

Hace relativamente poco tiempo que estoy funcionando con Gmail y sin duda es lo que andaba buscando, la pregunta es: ¿Hasta que punto podemos seguir poniendo nuestras "vidas" en manos de google?